و

آخرین شماره شمارۀ پنجم دی‌ماه ۱۳۹۵

معرفی خبرنامه

به نام خدا

خبرنامۀ پیش رو با هدف ترویج ریاضیات و علوم رایانه برای دانش‌آموزان کلیۀ مقاطع، معلمان و سایر علاقه‌مندان در موسسۀ فرهنگی فاطمی تهیه شده است. در این خبرنامه می‌توانید اطلاعات جالب و مفیدی دربارۀ ریاضیات و علوم رایانه کسب کنید و از اخبار برنامه‌هایی مانند کانگورو و ببراس مطلع شوید.

عضویت در خبرنامه

اخبار

نهمین دورۀ روز و مسابقۀ ریاضیات کانگورو در ایران ۲۰۱۷

ثبت‌نام مدارس و مراكز آموزشی در نهمین دورۀ روز و مسابقۀ رياضيات كانگورو آغاز شد. دبيرخانۀ رياضيات كانگورو از تمام مدارس و مراكز آموزشی دعوت می‌کند تا در این رویداد علمی بین‌المللی شرکت کنند.

بستهٔ فراخوان نهمین دورهٔ ریاضیات کانگورو شامل پوستر، دفترچهٔ راهنما، فرم ثبت‌نام اولیه و فرم سفارش منابع آموزشی از اوایل بهمن‌ماه برای مدارسی که در دورهٔ گذشتهٔ این مسابقه شرکت کردند، ارسال خواهد شد.

سایر مدارس و مراكز آموزشی که مایل به دریافت بستهٔ فراخوان هستند می‌توانند با دبيرخانۀ ریاضیات كانگورو تماس بگیرند یا مشخصات مرکز آموزشی خود را از طریق تلگرام به شماره ۰۹۲۱۲۹۵۴۲۰۳ ارسال فرمایند.
بستهٔ فراخوان به صورت الکترونیکی نیز در سایت و کانال تلگرام ریاضیات کانگورو در دسترس و قابل استفاده خواهد بود.

مدارس و مراكز آموزشی برای ثبت‌نام در نهمین دورهٔ ریاضیات کانگورو لازم است فرم ثبت‌نام اوليه را تكميل و از طريق نمابر، ايميل یا تلگرام برای دبيرخانۀ رياضيات كانگورو ارسال كنند. در استان‌ها و شهرهایی که نمایندگی ریاضیات کانگورو تعیین شده است، مدارس می‌توانند فرم ثبت‌نام اولیه را پس از تکمیل به نمایندگی مربوطه تحویل دهند.

ثبت‌نام چهارمین المپیاد هندسۀ ایران

logo-2

چهارمین دورهٔ المپیاد هندسهٔ ایران امسال با شیوه‌ای متفاوت برگزار خواهد شد. سه دورهٔ قبل این المپیاد به صورت تشریحی و محدود در چند شهر از جمله تهران، مشهد و تبریز و یک سال هم در اصفهان برگزار شد.
اما قرار است چهارمین دورهٔ این المپیاد در دو مرحله برگزار شود تا فرصت شرکت در آن برای تمام علاقه‌مندان به هندسه در سراسر کشور فراهم شود.
مرحلهٔ اول این المپیاد که روز پنجشنبه ۵ اسفند ۱۳۹۵ به همت مؤسسه فرهنگی فاطمی برگزار خواهد شد، به صورت چندگزینه‌ای (تستی) خواهد بود. از برگزیدگان در این مرحله دعوت خواهد شد تا در مرحلهٔ دوم که به صورت تشریحی و در تابستان ۱۳۹۶ برگزار خواهد شد، شرکت کنند.

ثبت‌نام در مرحلهٔ اول از اول دی‌ماه آغاز شده و تا دهم بهمن‌ماه ادامه دارد.
ثبت‌نام به صورت گروهی (به‌وسیلهٔ مدارس یا سایر مراکز آموزشی از جمله خانه‌های ریاضیات و پژوهش سراهای دانش‌آموزی) در سراسر کشور امکان‌پذیر است.
حداقل تعداد ثبت‌نام در هر مدرسه جمعاً ۱۰ نفر است و در صورت تکمیل ثبت‌نام، برگزاری آزمون در همان مدرسه یا مرکزآموزشی ثبت‌نام کننده انجام خواهد شد.
در برخی از شهرها و مواردی که ثبت‌نام گروهی امکان‌پذیر نباشد، دانش‌آموزان می‌توانند به صورت انفرادی ثبت‌نام کنند.
برای دریافت اطلاعات بیشتر دربارهٔ نحوه‌ٔ ثبت‌نام در این المپیاد، به سایت igo-official.ir مراجعه کنید.

همزمان با آغاز ثبت‌نام مرحلهٔ اول، پوستر ویژهٔ چهارمین المپیاد هندسهٔ ایران به‌وسیلهٔ دبیرخانهٔ این المپیاد منتشر شده و به تعدادی از مدارس و مراکز آموزشی ارسال خواهد شد.

تلفن دبیرخانه: ۰۲۱۸۸۹۴۵۵۴۵
ایمیل: national.igo@gmail.com

pooster-4th-d-m-hendese-final-95

کم‌تر از چهل روز مانده به المپیاد هندسه

دبیرخانۀ المپیاد هندسۀ ایران در این فرصت باقیمانده《چلۀ هندسه》برگزار می‌کند و هر روز سؤالات هندسی متناسب با هر سطح را در کانال تلگرام igo_official@ و سایت المپیاد هندسه قرار می‌دهد.

سومین گروه دریافت‌کنندگان جایزه در مینی مسابقه‌های کانگورو

همان‌طور که می‌دانید دورهٔ جدید مینی‌مسابقهٔ ریاضیات کانگورو از شنبه ۱۷ مهرماه آغاز و هر هفته یک مینی‌مسابقه آنلاین برگزار می‌شود.

تاکنون تعداد قابل توجهی از دانش‌آموزان پایۀ اول تا نهم در سایت عضو شده‌اند و در مینی مسابقه‌های آنلاین کانگورو شرکت کردند و با سکه‌هایی که جمع کردند از کمد جوایز برای خود جایزه برداشتند. لازم به توضیح است بسته‌های ستاره‌دار در کمد جوایز  برای صرفه‌جویی در مصرف سکه طراحی شده‌اند و شرکت‌کنندگان می‌توانند با جمع‌کردن سکه‌های بیشتر در هفته‌های بعد، این بسته‌ها را که مقرون‌به‌صرفه‌تر هستند، انتخاب کنند.

فهرست زیر اسامی شرکت‌کنندگانی است که به تازگی برایشان جایزه ارسال شده است.

اگر تا الان در سایت عضو نشده‌اید، فرصت را از دست ندهید و همین الان در سایت عضو شوید تا بتوانید در مینی‌مسابقه‌های کانگور شرکت کنید. این مینی‌مسابقه‌ها تا پایان سال تحصیلی ادامه خواهد داشت.

معرفی کتاب

خیلی از افراد نخستین بار لذت واقعی ریاضیات را با آموختن هندسه چشیده‌اند. هندسه از قدیمی‌ترین دانش‌هاست٬‌ و نظام سنتی آموزش بسیار پربار است.

تلفیق این سنت با رویکردهای جدید آموزشی٬ ‌به ویژه «مسئله حل کردن» به غنای آن افزوده و شیوه‌ای منحصر به فرد برای آموزش و علاقه‌مند کردن دانش‌آموزان به ریاضیات فراهم آورده است.

کتاب «هندسه از ابتدا تا …» درباره هندسه مقدماتی است و رویکرد آن «مسئله حل کردن» است. در هر فصل مفهوم‌ها‌٬ تعریف‌ها٬‌ و قضیه‌ها به تفصیل آمده است و تقریباْ ‌برای هر یک از آن‌ها مسئله‌ای یا مسئله‌هایی حل شده آورده شده است.

در انتهای هر فصل هم تعدادی تمرین برای کار مستقل گنجانده شده است.

کتاب «هندسه از ابتدا تا…»  تألیف ارشک حمیدی دوشنبه 29 آذر‌ماه به عنوان کتاب تقدیری سیزدهمین جشنواره کتاب‌های آموزشی و تربیتی «رشد» معرفی شد.

این کتاب به عنوان یکی از منابع چهارمین المپیاد هندسۀ ایران معرفی شده است.

آموزش علوم رایانه بدون نیاز به رایانه-۳

عددهای دودویی

مقدمه

پیش از دادن کاربرگ۱ به دانش آموزان، بهتر است اصول کار برای آنها توضیح داده شود.

برای این فعالیت، به یک مجموعهٔ پنج‌تایی کارت نیاز دارید. همان‌طور که در شکل زیر می‌بینید، یک سمت این کارت‌ها نقطه‌دار و سمت دیگر خالی است. پنج دانش‌آموز را انتخاب کنید تا کارت‌ها را در مقابل دانش‌آموزان کلاس نگه دارند. ترتیب کارت‌ها باید به صورت زیر باشد:

۱۱

بحث و گفتگو

هنگام دادن کارت‌ها به دانش آموزان (از راست به چپ)، از آنها بخواهید که تعداد نقطه‌های کارت بعدی را حدس برنند. متوجه چه نکته‌ای دربارهٔ تعداد نقطه‌های کارت­ها شدید؟ (تعداد نقطه­های هر کارت، دو برابر کارت قبلی است.)

اگر بخواهیم از سمت چپ به اضافه‌کردن کارت ادامه دهیم، کارت بعدی چند نقطه خواهد داشت؟ (۳۲) و کارت بعدی…؟ (۶۴)

با برگرداندن بعضی از کارت‌ها و جمع کردن تعداد نقطه‌های قابل مشاهده، می‌توانیم از این کارت‌ها برای ساختن عددها استفاده کنیم. از دانش آموزان بخواهید که ۶ نقطه را نشان دهند (کارت ۴ نقطه‌ای و کارت ۲ نقطه‌ای)، سپس ۱۵ نقطه (کارت‌های ۸،۴،۲،۱ نقطه‌ای) و بعد ۲۱ نقطه (کارت‌های ۱۶،۴،۱ نقطه‌ای)… تنها قاعده این است که بعضی از کارت‌ها باید نشان داده شوند و بعضی دیگر نباید نشان داده شوند.

از دانش‌آموزان بپرسید که کمترین تعداد نقطهٔ قابل نمایش بر روی کارت‌ها، کدام عدد است؟ (پاسخ آن­ها ممکن است ۱ باشد، اما پاسخ درست صفر است).

حالا از دانش‌آموزان بخواهید که سعی کنند از صفر به بعد را بشمارند.

بقیهٔ دانش‌آموزان کلاس باید دقت کنند که کارت‌ها چگونه تغییر می‌کنند، آیا می‌توانند الگویی برای چرخش کارت‌ها بیابند؟ (تعداد چرخش هر کارت، نصف کارت سمت راستش است). می­توانید این فعالیت را با گروه دیگری از دانش‌آموزان اجرا کنید.

وقتی کارتی به پشت بر می‌گردد، با صفر نشان داده می‌شود، و وقتی به رو بر می‌گردد، با یک مشخص می‌شود. این همان سیستم عددهای دودویی است.

۱۲

از دانش آموزان بخواهید ۰۱۰۰۱ را بسازند. این عدد در سیستم دودویی چه عددی را در سیستم ده‌دهی نشان می‌دهد؟ (۹)

عدد ۱۷ در سیستم دودویی چگونه به نمایش در می‌آید؟ (۱۰۰۰۱)

چند عدد دیگر را نیز امتحان کنید تا دانش­آموزان این مفهوم را بفهمند.

در اینجا پنج فعالیت اضافی اختیاری برای درک بیشتر آمده است. دانش‌آموزان می‌توانند هر کدام را که مایل بودند انجام دهند.

کاربرگ ۱

یاد بگیرید که چگونه بشمارید

تا الان فکر می­کردید که بلدید بشمارید؟ خب، حالا یک راه جدید برای شمردن به شما نشان می‌دهیم!

آیا می‌دانید که رایانه‌ها فقط از صفر و یک استفاده می‌کنند؟ هر چیزی که در رایانه می‌بینید یا می‌شنوید-کلمه‌ها، تصویرها، عددها، فیلم‌ها و حتی صداها- تنها با استفاده از این دو عدد ذخیره شده‌اند. فعالیت‌های این بخش به شما یاد می‌دهند که با روش مورد استفاده در رایانه‌ها، برای دوستانتان پیام‌های سری بفرستید.

دستورالعمل

کارت‌های خود را به صورتی روی میز بچینید که کارت ۱۶ نقطه‌ای، مانند تصویر زیر در سمت چپ قرار بگیرد:

۱۳

مطمئن شوید که کارت‌ها دقیقاً به همین ترتیب چیده شده باشند.

حالا کارت‌ها را طوری برگردانید که تنها ۵ نقطه نمایان باشد- توجه کنید که ترتیب کارت‌ها به هم نخورد!

۱۴

ببینید که چگونه می‌توان عددهای ۳، ۱۲ و ۱۹ را به دست آورد. آیا برای به دست آوردن هر عدد، بیشتر از یک راه وجود دارد؟ بزرگ‌ترین عددی که می‌توانید بسازید چه عددی است؟ کوچک‌ترین عدد، چه عددی است؟ آیا بین کوچک‌ترین و بزرگ‌ترین عدد، عددی وجود دارد که نتوانید بسازید؟

تمرین بیشتر برای حرفه‌ای‌ها

سعی کنید عددهای ۱، ۲، ۳ و ۴ را به ترتیب بسازید. آیا می‌توانید روشی منطقی و قابل اطمینان برای برگرداندن کارت‌ها پیدا کنید به‌طوری که هر عدد یک واحد افزایش پیدا کند؟

کابرگ ۲

سیستم عددهای دودویی از صفر و یک استفاده می‌کند تا مشخص کند که یک کارت به پشت است یا به رو. ۰ یعنی کارت مخفی است و ۱ یعنی شما نقطه‌ها را می‌بینید. برای مثال:

۱۲

می‌توانید بگویید ۱۰۱۰۱ چه عددی است؟ ۱۱۱۱۱ چطور؟

در چه روزی از ماه متولد شده‌اید؟ آن را به‌صورت دودویی بنویسید. روز تولد دوستانتان را به‌صورت دودویی پیدا کنید.

 

عددهای کدگذاری شدهٔ زیر را پیدا کنید:

csu-02

تمرین بیشتر برای حرفه‌ای‌ها

نشان دهید که چگونه می‌توان با استفاده از مجموعه‌ای از میله‌های به طول ۱، ۲، ۴، ۸ و ۱۶ واحد، هر طولی را تا ۳۱ واحد ساخت. چگونه می‌توانید یک بزرگسال را غافلگیر کنید و به او نشان دهید که می‌توان تنها با استفاده از یک ترازو و تعداد کمی وزنه، چیزهای سنگینی مثل چمدان یا جعبه‌های بزرگ را وزن کرد!

کاربرگ ۳

پویا در طبقهٔ بالای یک فروشگاه بزرگ گیر افتاده است. چیزی به جشن سال نو نمانده و او می‌خواهد با هدیه­های عیدش به خانه برود. چه کار می‌تواند بکند؟ او سعی می‌کند کسی را صدا کند، حتی فریاد می­زند؛ اما هیچ کس آن دور و بر نیست. در ساختمان آن طرف خیابان، یک نفر را می‌بیند که تا آن موقع شب مشغول کار با کامپیوترش است. چگونه می‌تواند توجه او را جلب کند؟ پویا اطرافش را نگاه می‌کند تا ببیند که از چه چیزی می‌تواند استفاده کند. ناگهان یک ایدهٔ عالی به ذهنش می‌رسد- می‌تواند از چراغ‌های تزئینی درختان کریسمس برای فرستادن یک پیام انگلیسی به شخص آن طرف خیابان استفاده کند! او همهٔ چراغ ها را پیدا می‌کند و همه را به برق وصل می‌کند تا بتواند آنها را روشن یا خاموش کند. او از یک کد دودویی ساده استفاده می‌کند که می‌داند آن شخص بدون شک آن را خواهد فهمید. آیا می‌توانید بگویید پیام او چه بوده است؟

۱ ۲ ۳

کاربرگ ۴

کامپیوترهایی که به وسیلهٔ مودم به اینترنت وصل می‌شوند نیز برای فرستادن پیام‌ها از سیستم عددهای دودویی استفاده می‌کنند. تنها تفاوت این است که آن‌ها این کار را با استفاده از بوق انجام می‌دهند. بوق با صدای قوی نشانگر یک و بوق با صدای ضعیف نشانگر صفر است. این صداها خیلی سریع منتقل می‌شوند، به‌طوری که ما تنها یک صدای ممتد جیغ‌مانند و گوش‌خراش می‌شنویم. اگر تا به حال این صدا را نشنیده‌اید، وقتی مودم به اینترنت وصل می‌شود به آن گوش دهید، یا با یک دستگاه فکس تماس بگیرید- دستگاه فکس هم برای ارسال اطلاعات از مودم استفاده می‌کند.

۴-۱

با استفاده از کدی که پویا در فروشگاه استفاده کرد، سعی کنید که برای دوستتان یک پیام ایمیلی (نامهٔ الکترونیکی) بفرستید. اما کار را برای خودتان و دوستتان سخت نکنید- لازم نیست به سرعت یک مودم واقعی عمل کنید!

۴-۲

کاربرگ ۵

دوباره به کارت‌های دودویی نگاه کنید. اگر بخواهید کارت بعدی این دنباله را بسازید، آن کارت چند نقطه خواهد داشت؟ کارت بعد از آن چطور؟ چه قاعده‌ای را برای درست کردن کارت‌های جدید دنبال می‌کنید؟ همان‌طور که می‌بینید، برای شمارش عددهای خیلی بزرگ، تنها تعداد کمی کارت لازم است.

اگر با دقت به دنبالهٔ زیر نگاه کنید، رابطهٔ بسیار جالبی میان عددها خواهید یافت:

…۱،۲،۴،۸،۱۶

سه عدد اول را با هم جمع کنید: (?=۱+۲+۴) به چه عددی می‌رسید؟

با جمع کردن چهار عدد اول به چه عددی می‌رسید؟ (?=۱+۲+۴+۸)

اگر همهٔ عددها را از اول با هم جمع کنید چه اتفاقی می‌افتد؟

به این ترتیب می­فهمیم که با انگشتان یک دست می‌توان عددهایی خیلی بیشتر از ده را شمرد! نه، لازم نیست مثل آدم‌فضایی‌ها بیشتر از ده انگشت داشته باشید. اگر از سیستم عددهای دودویی استفاده کنید و هر انگشت شما نمایندهٔ یکی از کارت‌های نقطه‌دار باشد، می‌توانید از 0 تا 31 بشمارید. یعنی می‌توانید ۳۲ عدد را بشمارید (فراموش نکنید که صفر هم یک عدد به حساب می‌آید!)

سعی کنید با استفاده از انگشت‌هایتان به ترتیب شروع به شمردن کنید. اگر انگشتی بالا باشد نشان‌دهندهٔ یک است و اگر پایین باشد نشان‌دهندهٔ صفر.

در واقع اگر از انگشتان هر دو دست استفاده کنید، می‌توانید از 0 تا 1023 را بشمارید، یعنی 1024 تا عدد!

اگر انگشتان پاهایتان را هم بتوانید خم کنید (برای این کار دیگر حتماً باید آدم‌فضایی باشید!) به عددهای بیشتری نیز خواهید رسید. اگر با یک دست بتوان 32 عدد و با دو دست بتوان ۱۰۲۴=32×32 عدد را شمرد، بیشترین عددی که خانم انگشت منعطفیان می‌تواند بشمارد چه عددی است؟

۵

کاربرگ ۶

۱- یکی دیگر از ویژگی‌های جالب عددهای دودویی، زمانی رخ می‌دهد که یک صفر در سمت راست عدد قرار می‌گیرد. زمانی که در مبنای 10 کار کنیم (ده‌دهی)، اگر یک صفر را در سمت راست عدد قرار دهیم، عدد در 10 ضرب می‌شود. برای مثال 9 می‌شود 90 و 30 می‌شود 300.

اما اگر صفر را در سمت راست عدد دودویی قرار دهیم چه اتفاقی می‌افتد؟ امتحان کنید.

۱۰۰۱۰         ۱۰۰۱

(؟)             (۹)

برای آزمایش فرضیه­تان چند مثال دیگر را نیز بررسی کنید. چه قاعده‌ای وجود دارد؟ به نظر شما چرا چنین اتفاقی می‌افتد؟

۲- هر یک از کارت­هایی که تاکنون استفاده کرده­ایم نمایانگر یک «بیت» در کامپیوترند (بیت مخفف binary digit است). بنابراین حروف الفبای انگلیسی را می‌توان تنها با استفاده از پنج کارت یا «بیت» نشان داد. با این حال کامپیوتر باید بداند که آیا حروف مورد نظر بزرگ هستند یا کوچک، همچنین ارقام، علائم نشانه‌گذاری و نمادهای ویژه‌ای چون $ و ~ را تشخیص دهد.

به صفحه‌کلید کامپیوتر نگاه کنید و تعداد کاراکترهای آن را بشمارید. هر کامپیوتر برای ذخیرهٔ همهٔ کاراکترها به چند بیت نیاز دارد؟

امروزه بیشتر کامپیوترها از یک سیستم بازنمایی به نام ASCII (استاندارد آمریکایی کد برای تبادل اطلاعات[1]) استفاده می‌کنند که بر اساس به‌کارگیری این تعداد بیت برای هر کاراکتر عمل می‌کند. اما برخی کشورهای غیر انگلیسی‌زبان ناچارند از کدهای طولانی‌تری استفاده کنند.

۶

[1] American Standard Code for Information Interchange

جمع‌بندی فعالیت اول

امروزه کامپیوترها برای نمایش اطلاعات از سیستم دودویی استفاده می‌کنند. این سیستم عددی به دلیل استفاده از تنها دو رقم، دودویی یا مبنای دو خوانده می‌شود (انسان‌ها معمولاً از مبنای 10 استفاده می‌کنند). به هر صفر و یک، یک بیت (binary digit) می‌گویند. یک بیت معمولاً در حافظه اصلی کامپیوتر به‌وسیلهٔ یک ترانزیستور که روشن یا خاموش می‌شود، یا یک خازن که شارژ یا تخلیه می‌شود نمایش داده می‌شود.

۱-۲              ۱-۱

هرگاه اطلاعات به‌وسیلهٔ خط تلفن یا ارتباط رادیویی منتقل شود، از صدای ضعیف یا قوی بوق به جای صفر و یک استفاده می‌شود. در دیسک‌های مغناطیسی (هارد دیسک یا فلاپی دیسک) و نوارهای مغناطیسی، بیت‌ها به‌وسیلهٔ جهت میدان مغناطیسی بر روی یک سطح پوشش داده شده، به‌صورت جنوب-شمال یا شمال-جنوب نمایش داده می‌شوند.

۱-۳

CDهای صوتی، CD-ROMها و DVD‌ها، بیت‌ها را به‌صورت نوری ذخیره می‌کنند. هر بخش از سطح این لوح‌های فشرده با بازتاب دادن یا بازتاب ندادن نور، بیت‌ها را نمایش می‌دهند.

۱-۴

علت اینکه کامپیوترها تنها از دو مقدار مختلف استفاده می‌کنند این است که ساختن ابزارهایی که به این شکل کار کنند آسان‌تر است. ما می‌توانستیم CD‌هایی داشته باشیم که 10سطحِ بازتابی داشته باشند و همه رقم‌های 0 تا 9 را نمایش دهند، اما برای به‌کار بردن آن باید ابزارهای خیلی گران‌قیمت و دقیقی ساخته شوند. نکتهٔ دیگری که ممکن است متوجه آن شده باشید این است که وقتی می‌گوییم کامپیوترها فقط صفر و یک را ذخیره می‌کنند، به این معنا نیست که درونشان صفر و یک دارند، بلکه این مفهوم بیان‌کنندهٔ دو وضعیت است؛ مانند ولتاژهای بالا یا پایین، جهت مغناطیسی شمال یا جنوب و غیره. اما نوشتن “0” و “1” بسیار سریع‌تر از نوشتن چیزهایی مثل “درخشان” و “غیر درخشان” است. در کامپیوترها همه چیز، از سندها، تصویرها، آهنگ‌ها، فیلم‌ها و عددها گرفته تا برنامه‌ها و اپلیکیشن‌هایی که استفاده می‌کنیم، انبوهی از رقم‌های دودویی هستند.

یک بیت به‌تنهایی نمی‌تواند چیز زیادی را نشان دهد، بنابراین بیت­ها معمولاً در گروه‌های هشت‌تایی دسته‌بندی می‌شوند که می‌توانند عددهای 0 تا 255 را نمایش دهند. به هر گروه هشت‌تایی از بیت‌ها یک بایت گفته می‌شود.

سرعت یک کامپیوتر به تعداد بیت‌هایی که می‌تواند در یک زمان پردازش کند بستگی دارد. برای مثال، یک کامپیوتر 32 بیتی می‌تواند در یک عملیات عددهای 32 بیتی را پردازش کند. در حالی که یک کامپیوتر 16 بیتی باید عددهای 32 بیتی را به تکه‌های کوچک‌تر بشکند، که این یعنی کندتر شدن (و البته ارزان‌تر شدن!) کامپیوتر.

در تعدادی از فعالیت‌های بعد خواهیم دید که چگونه در یک کامپیوتر، انواع دیگر اطلاعات می‌توانند با استفاده از عددهای دودویی نمایش داده شوند.

۱-۵

تجربۀ موفق

گزارش آزاده آشوری دربارهٔ جشن ریاضی کانگورو در مجتمع آموزشی راه رشد

مجتمع آموزشی راه رشد که همواره پیش‌قدم مشارکت در امور موثر در آموزش و پرورش دانش‌آموزان است، از ابتدای عضویت ایران در “کنگرهٔ جهانی کانگورو بدون مرز” توسط نمایندهٔ محترم ایران، موسسهٔ فرهنگی فاطمی(سال ۱۳۸۷) اقدام به شرکت در مسابقات ریاضیات کانگورو به صورت فراگیر برای کلیهٔ دانش‌آموزان مجتمع کرده است.

در روز ریاضیات کانگورو، که با هدف ارتقای درک ریاضی و لذت بردن دانش آموزان از فعالیت های ریاضی برگزار می شود، دانش‌آموزان پس از پاسخ به پرسش‌های مسابقهٔ ریاضیات کانگورو که موجب تقویت اعتماد به نفس دانش‌آموزان و افزایش مهارت حل مسئلهٔ آن‌ها می‌شود، روز شادی را در کنار آموزگاران ریاضی تجربه می‌کنند و اقدام به بازی‌های ریاضی در کنار یکدیگر می‌کنند.

مجتمع اموزشی راه رشد با هدف پرورش تفکر خلاق و توانایی استدلال دانش آموزان اقدام به برگزاری کلاس های ریاضیات خلاق و حل مساله با استفاده از کتب همگام با ریاضیات کانگورو کرده است. این امر فرصت مناسبی را برای دانش اموزان فراهم کرده است تا ضمن تقویت مهارت حل مساله بتوانند با کاربرد ریاضیات در زندگی اشنا شوند.

تقویت اعتماد به نفس دانش آموزان، پرورش تفکر خلاق، افزایش مهارت حل مساله و آشنایی با کاربرد ریاضیات در زندگی روزمره و در نهایت جامعه آماری بالای این مسابقه ویژگی های مهم و موثر مسابقه علمی ریاضیات کانگورو است و این اهداف اشتیاق مجموعه راه رشد را برای شرکت در این مسابقه در پی داشته است. با افتخار سوال طراحی شده توسط آموزگار این مجتمع، جناب اقای سلیمی نیز یکی از سوال های منتخب مسابقه علمی ریاضیات کانگورو ۲۰۱۶ بود.

با آغاز برگزاری مینی مسابقات ریاضیات کانگورو توسط انتشارات فاطمی از مهر ۹۵ مجتمع آموزشی راه رشد و دانش آموزان این مجموعه پیش گام شرکت در این مسابقه بودند و دانش آموزان اول دبستان تا دهم متوسطه مدارس دخترانه و پسرانه مجتمع آموزشی راه رشد در این آزمون ها شرکت می کنند.

کارگاه کدنویسی اسکرچ-۳

در این بخش از خبرنامه قصد داریم ساخت بازی و انیمیشن را به ساده‌ترین صورت و مرحله به مرحله آموزش دهیم.

همچنین شما می‌توانید پروژه‌های تکمیل شدهٔ خود را برای ما ارسال کنید تا به اسم شما در خبرنامه به نمایش بگذاریم.

برای ساخت بازی و انیمیشن، شما یا یکی از اولیایتان باید آدرس پست الکترونیکی (e-mail) داشته باشید.

برای شروع، از طریق لینک زیر به سایت اسکرچ رفته و طبق مراحل زیر در آن ثبت نام کنید.

ثبت نام

مرحله ۱

برای ثبت نام از طریقJoin Scratch  اقدام کنید.

۰۱

مرحلهٔ ۲

یک نام کاربری و رمز عبور برای خود انتخاب کرده و روی Next کلیک کنید.

۰۲

مرحلهٔ ۳

تاریخ تولد، جنسیت و کشور خود را انتخاب کرده و روی Next کلیک کنید.

۰۳

مرحلهٔ ۴

یک آدرس ایمیل را وارد کرده و روی Next کلیک کنید.

۰۴

مرحلهٔ ۵

یک پیام حاوی لینک تاییدیه به ایمیلتان ارسال شده است. از آن طریق حساب کاربری اسکرچ خود را فعال کرده و برای استفاده از امکانات آن بخش بعد را مطالعه فرمایید.

جلسه ۳

در این جلسه می‌خواهیم ساخت انیمیشنی را آموزش دهیم که در آن یک گربه پرواز می‌کند! برای نمونه، انیمیشن زیر را ببینید.

روی علامت پرچم سبز کلیک کنید.

با کلیک روی هر حرف می‌توانید انیمیشن آن را ببینید.

مراحل زیر را در سایت اسکرچ انجام دهید

اِوِلین، اولین زن ریاضی‌دان سیاهپوست

در نزدیکی بهترین منطقۀ واشنگتن، محله‌ای سیاه‌نشین بود. دختری به نام اِوِلین با مادر و خواهر بزرگ‌ترش در این محله زندگی می‌کرد و پدر نیز هر از گاهی به او سر می‌زد. پدر و مادر اولین از هم جدا شده بودند. اولین و خواهرش دوران کودکی خوشی داشتند. بازی کردن با بچه های محل، کار دستی درست کردن و به کتاب‌خانه رفتن، تمام تفریحشان بود. آنها اغلب یک ماه از تابستان را در روستا و در کنار یکی از دوستان خانوادگی می گذراندند.

اولین در  یکی از مدارس نزدیک خانه ثبت‌نام کرد. در این مدرسه همۀ دانش‌آموزان و معلمان سیاه‌پوست بودند. او دوران خوبی در این مدرسه داشت. در تمام مدت تحصیل از دانش‌آموزان ممتاز بود و با رتبه دوم از آنجا فارغ‌التحصیل شد. بیشتر دانش‌آموزان مدرسه به کالج‌های خوب راه می‌یافتند. معلم ریاضی اولین نیز با توجه به استعداد او پیشنهاد کرد که کالج اسمیت را برای ادامۀ تحصیل انتخاب کند. او نیز برای همان‌جا اقدام کرد و پذیرفته شد. ولی کالج، به او هیچ کمک مالی اعطا نکرد. با وجود اینکه وضعیت مالی خانواده‌اش در آن زمان خیلی خوب نبود، مادرش همۀ پس‌اندازش را به او داد. همچنین مجبور شد برای تأمین هزینۀ تحصیل و زندگی در سال اول کالج از بعضی دوستانش هم پولی قرض کند.

بالاخره اولین وارد کالج اسمیت شد و برای ادامۀ تحصیل، رشتۀ ریاضی و فیزیک را انتخاب کرد. او از نظر درسی وضعیت بسیار خوبی داشت. ترم اول درس اخترشناسی را گرفت و به کمک معلم این درس توانست برای طول تابستان کاری پیدا کند. در تمام مدت تحصیل، اولین آرزو داشت روزی معلم شود که این شغل نزد سیاهان بسیار مورد احترام بود. او در کالج پس از مدتی کار کردن، به پزشک یا ریاضیدان شدن هم فکر می‌کرد. البته او دوست داشت تا کاربردهای ریاضیات در صنعت را بیابد و بیشتر به جنبه‌های عملی ریاضیات علاقه داشت.

بعد از فارغ‌التحصیلی از کالج اسمیت در سال ۱۹۴۵، کاملاً به ریاضیات علاقمند شده بود و تصمیم گرفت در همین رشته ادامۀ تحصیل دهد. وی توانست بورس تحصیلی از کالج اسمیت و دانشگاه ییل بگیرد. در واقع او در دورۀ دکترا در دانشگاه ییل پذیرفته شده بود. اولین در ییل دوران خوبی داشت و به اندازۀ کافی درآمد داشت. او همچنان که با قدرت تمام درس می‌خواند، فرصت خوبی نیز برای تفریح با دوستان و هم‌کلاسی‌های جدیدش در نظر می‌گرفت.

اولین، زمانی وارد جامعۀ واقعی خارج از دانشگاه شد، که شرایط اجتماعی زمان به کل تغییر کرده بود. زن بودن و سیاه‌پوست بودنش، او را از انجام کاری باز نمی‌داشت. جامعۀ آمریکا کم‌کم به این سطح تفکر رسیده بود، که مهم قابلیت‌های هر فرد است و رنگ، نژاد و جنسیت عوامل تعیین‌کننده برای ارزیابی قابلیت‌ها و استعداد نیستند. اولین نیز با سابقۀ درخشانش، در این دورۀ زمانی، شانس بسیار خوبی برای یافتن یک کار علمی سطح بالا داشت. اما او همچنان به فکر تدریس در دانشگاه، همان رویای قدیمی‌اش بود. لذا برای کالج شهر نیویورک تقاضای کار کرد حتی در مصاحبه هم شرکت کرد، ولی شخص مصاحبه کننده، ورود اولین به آن کالج را خیلی جدی نگرفت.

بالاخره او در مؤسسۀ ریاضیات و علوم آنجا کاری برای تدریس پیدا کرد و مجبور شد به نیویورک مهاجرت کند. وضعیت زندگی در شهرهای بزرگ آسان نبود و اولین نیز شروع سختی داشت. مدت زیادی به دنبال آپارتمانی برای زندگی می‌گشت که کار چندان آسانی نبود. سرانجام برای زندگی به خانۀ یکی از دوستان قدیمی مادرش رفت.

اولین مدت زیادی در آنجا دوام نیاورد. پس از یک سال نیویورک را به سمت نشویل در ایالت تنسی ترک کرد و به عنوان مدرس در دانشکدۀ ریاضی دانشگاه فیسک که یکی از دانشگاه‌های معروف برای سیاه پوستان است، شروع به کار کرد.

در ابتدای سال تحصیلی، وقتی رئیس دانشگاه، اولین را به دانشجویان معرفی می‌کرد و از سوابق تحصیلی و علمی او می‌گفت، ولوله‌ای بین دانشجویان افتاد. همه گذشتۀ اولین را تحسین می‌کردند. این شروع بسیار خوبی برای او در دانشگاه فیسک بود. برای دو سال اول، درس‌های ریاضی دورۀ لیسانس را تدریس کرد، ولی به تدریج کار تدریس را تا مراحل تکمیلی ادامه داد و دانشجویان بسیاری زیر نظر او دکترای ریاضیات گرفتند.

اولین تا سال ۱۹۵۰ در فیسک ماند، پس از آن در شرکت IBM مشغول به کار شد. او در مرکز کامپیوتر ونگارد کار می‌کرد. شعبۀ اصلی این مرکز در نیویورک بود، همچنین شعبه‌ای در واشنگتن داشت. در نتیجه اولین مدتی در نیویورک بود و برخی اوقات هم کار را در واشنگتن ادامه می‌داد. او کارش را خیلی دوست داشت؛ شاید به این دلیل که می‌توانست آنالیز تابعی که زمینۀ اصلی تز دکترایش بود را به کار برد. کار اصلی تحقیق او تشریح عملکرد درونی راکت‌هایی بود که به وسیلۀ کامپیوتر، ماهواره ونگارد را کنترل می‌کرد. این کار جالب‌ترین کار تحقیقی اولین در محیط خارج از دانشگاه بود.

تابستان یکی از این سال‌ها اولین برای دیدن دوستانش به کالیفرنیا رفت. در طی سفر با همسر اولش آشنا شد و همان تابستان ازدواج کرد. لذا او کار در نیویورک را رها کرد و توانست در آزمایشگاه تکنولوژی فضایی، ناسا، به عنوان محقق ریاضی مشغول به کار شود. کاری که او انجام می‌داد تقریباً شبیه کار در مرکز کامپیوتر ونگارد بود. امّا او که همواره از محیط کاری قبلی‌اش در IBM لذت می‌برد، در اواخر دهۀ ۶۰ دوباره به یکی از شعبه‌های آن در لُس‌آنجلس بازگشت. در آن زمان IBM قراردادهای بزرگی با دولت نداشت و شعبۀ لس‌آنجلس کار تحقیقی گسترده‌ای انجام نمی‌داد. لذا از اولین خواستند برای ادامۀ کار به کالیفرنیای شمالی یا به نیویورک بازگردد. ولی اولین هیچ‌کدام را قبول نکرد و ترجیح داد همان‌جا بماند و دوباره کار تدریس را ادامه دهد. در همین دوران از همسر اولش جدا شده بود و باید به سرعت شغلی پیدا می‌کرد .او از دانشگاه ایالتی کالیفرنیا در لس‌آنجلس تقاضای کار کرد که به سرعت تقاضایش پذیرفته شد. به این ترتیب یک بار دیگر کار تدریس را ادامه داد.

در همین مدت یکی از کارهای با ارزش عمرش را انجام داد. او با کمک یکی از همکارانش جیسن فرند تصمیم به نوشتن کتاب کردند. نوشتن و ویراستاری کتاب آنها پنج سال طول کشید. عنوان آن «تئوری و کاربرد ریاضیات برای معلمان» بود، که با استقبال فراوانی مواجه شد. او همچنین کتاب دیگری در زمینۀ کاری خودش نوشت.

در سال ۱۹۷۰ اولین با اد گرانویل کارمند بانک ازدواج کرد. در سال ۱۹۸۴ از دانشگاه باز نشست شد و آنها برای زندگی به شهر کوچکی در ایالت تگزاس مهاجرت کردند. در آنجا یک زمین کشاورزی خریده و خانه‌ای در آن ساختند. اولین از سر و صدا در شهرهای بزرگ خسته شده بود و زندگی به این نحو برای او بسیار لذت بخش بود. او همچنین کار تدریس کار را کنار نگذاشت و در کالج کوچکی در تگزاس ریاضیات تدریس می‌کرد.

«اولین بوید گرانویل» به همراه «مارجوری لی بران» از دانشگاه میشیگان، اولین زنان سیاه پوستی بودند که در طول تاریخ ریاضیات، دکترای ریاضی گرفتند.

ریاضیات به چه درد می‌خورد؟

مسئله‌ای که در اکتشافات زمین‌شناسی، بایگانی بقایای اسناد باستان شناختی و تصویرسازی پزشکی یا صنعتی و … غالبأ با آن برخورد می‌کنیم، بازسازی رویه‌ای است که فقط تعدادی از نقاط آن را می‌شناسیم.

هنگامی که در برخی از اماکن به کاوش زیر پوستهٔ خاکی زمین می‌پردازیم تا چگونگی شکل‌گیری لایه‌های زمین را بشناسیم، یا هنگامی که می‌خواهیم از اعماق دریا نقشه‌برداری کنیم، تعداد نقاط اندازه‌گیری ناچار متناهی است؛ حال آنکه لازم است بر مبنای این داده‌ها که تعداد محدودی دارند، به بازسازی رویه‌های مربوطه بپردازیم. در همهٔ دستگاه‌های تصویرگری کامپیوتری (از قبیل اسکنرها، تله‌مترها، تصویرگرهای سه بعدی و غیره) که در پزشکی، صنعت، باستان شناسی و جز آن‌ها به‌کار می‌روند، وضع به همین منوال است. در آغاز، شیئی واقعی وجود دارد که ممکن است بخشی از بدن انسان، یک قطعهٔ مکانیکی، یک اثر باستانی، یک سازهٔ زمین‌شناختی و یا هر چیز دیگری باشد. ابزارها فقط می‌توانند تعدادی از نقاط این شیٔ حقیقی را ثبت کنند، و سپس باید به کمک این نقاط به‌طور مجازی شکل شیٔ موردنظر را بازسازی کرد. موضوع مورد بحث مسئلهٔ بازسازی رویه‌ها همین است. پس مسئله این است که با در دست داشتن تعدادی متناهی نقطه، بتوانیم به ارائهٔ نمایشی هندسی و کامپیوتری از شئ دست بیابیم، و از روی آن بتوانیم شیٔ را برای تماشا روی یک پرده آماده کنیم، یا آن را در حافظۀ کامپیوتر بایگانی کنیم و محاسباتی روی آن انجام بدهیم، و حتی بتوانیم تغییراتی در شکل آن بدهیم و یا بتوانیم با فرمان‌هایی از راه دور در نسخه‌ای از آن دستکاری‌های لازم را انجام بدهیم. به‌طور خلاصه، همین‌قدر که شکل یک شیٔ به‌صورت دیجیتال ذخیره شد، و این ذخیره‌سازی با دقت کافی صورت گرفت، امکانات عدیده‌ای در اختیار خواهیم داشت تا به عمل یا محاسبه بپردازیم.

فواید اقتصادی و صنعتی مسئلهٔ بازسازی رویه‌ها و همچنین سرشت بنیادی آن از نظر علمی، باعث شده‌اند که ظرف بیست سال گذشته کارهای متعددی در این زمینه صورت بگیرد. اما صورت‌بندی ریاضی مسئله توسط متخصصان، بسیار متأخر و مربوط به همین ایام اخیر است و به این ترتیب توانسته‌اند الگوریتم‌های کارآمدی برای بازسازی طراحی کنند. برخی از دستاوردهای این هندسهٔ الگوریتمی با سرعت فراوان به دنیای صنعت منتقل شده‌اند و این انتقال با ایجاد نهادهای نوپایی (مانند رین‌دراپ جئومجیک در ایالات متحده) صورت گرفته است و یا با عرضهٔ محصولات جدیدی به‌وسیلهٔ پیشروان طراحی به کمک رایانه و یا به‌وسیلهٔ دست‌اندرکاران تصویرگری پزشکی (مانند سیستم‌های داسو یا زیمنس پزشکی) جامهٔ عمل پوشیده است.

نمودارهای وورونوی و مثلث‌بندی دلونه، دو ابزار اساسی هندسی

برای اینکه یک رویه از روی شکل مبهم متشکل از چند نقطهٔ نمونه بازسازی شود، بیشتر الگوریتم‌ها ابزاری را به‌کار می‌برند که در هندسهٔ الگوریتمی حکم ابزار محوری را دارد و آن هم مثلث‌بندی دلونه است. این نام‌گذاری از نام ریاضیدان روسی بوریس دلون (۱۸۹۰-۱۹۸۰) گرفته شده است که تلفظ فرانسوی شدهٔ آن دلونه است. مثلث‌بندی دلونه به‌گونه‌ای طبیعی بر مبنای نموداری تعریف می‌شود که نمودار وورونوی نامیده می‌شود، که آن هم برگرفته از نام ریاضیدان روسی گئورگی وورونوی (۱۸۶۸-۱۹۰۸) است. مجموعه‌ای متناهی از نقاط فضا را در نظر بگیرید و آن را E بنامید. نمودار وورونویی متناظر E، تقسیم فضا به حجره‌هایی محدب است و هر حجره مرکب از نقاطی از فضا است که به یکی از نقاط E نزدیک‌تر از سایر نقاط‌اند. به این ترتیب، حجره‌ها، که چندوجهی‌های محدب هستند، بدون ابهام تعریف می‌شوند. اکنون آن نقاط E را که حجرهٔ وورونوی آن‌ها کنار هم می‌افتند با خط مستقیم به هم وصل کنید. مجموعهٔ پاره‌خط‌های حاصل، مثلث‌بندی دلونهٔ متناظر E را تشکیل می‌دهد. این ساختارها را می‌توان در فضاهای با بعد دلخواه تعریف کرد،  از جمله در فضای سه‌بعدی معمولی که از نظر بازسازی رویه‌ها، جالب‌ترین فضاست. نمودارهای وورونویی از اصلی‌ترین موضوع‌های مورد بحث هندسهٔ الگوریتمی هستند و در ۱۹۸۰ ارتباط آن‌ها با نظریهٔ پلی‌توپ‌ها روشن شد (پلی‌توپ‌ها مشابه چندوجهی‌ها در فضاهای با بعد بیشتر از ۳ هستند). بررسی آن‌ها در زمینهٔ نمونه‌برداری رویه‌ها از آن هم جدیدتر است.

فایدهٔ نمودارهای وورونوی و مثلث‌بندی‌های دلونه چیست؟ اگر ‌E نمونه‌برداری‌ای مرکب از n نقطه باشد که از رویهٔ S گرفته شده‌اند، می‌توان نشان داد نمودار وورونویی E و مثلث‌بندی دلونهٰ نظیر آن، شامل اطلاعات زیادی در مورد رویهٔ Sاند. هنگامی که نمونه‌برداری به اندازهٔ کافی متراکم باشد، می‌توان تقریب‌های دقیقی برای رویهٔ موردنظر فراهم کرد. مثلأ برداری که نقطهٔ P  از E را به دورترین رأس حجرهٔ وورونوی همین نقطه وصل می‌کند، تقریب خوبی برای قائم بر رویهٔ S در نقطهٔ P است.

نمودار وورونوی منهتن ایالات متحده

باید مطمئن شد که زمان‌های محاسبه در حد معقولی کوتاه و الگوریتم‌ها قابل اعتمادند

به این ترتیب امروزه چندین الگوریتم بازسازی می‌شناسیم که قادرند به اتکای نمونه‌برداری متناهی از نقاط رویهٔ S، به ساختن رویه‌ای مانند ‘S منتهی شوند که رویهٔ اصلی S را به‌شکل صحیح تقریب می‌زند. آنچه مهم‌تر است این است که الگوریتم‌های موجود اجازه می‌دهند یک کران بالا برای اختلاف بین S و ‘S به‌دست بیاید، که البته بستگی به تراکم نقاط نمونه‌برداری دارد.

از آن‌جا که اطلاعات فراهم شده به کمک ابزارهای اندازه‌گیری غالبأ صدها هزار و بلکه میلیون‌ها نقطه را در بر می‌گیرند، مسائل ترکیبیاتی و الگوریتمی نقشی حیاتی در کار با این داده‌ها ایفا می‌کنند. مثلأ دانستن این نکته که حجم محاسبات لازم برای مثلث‌بندی دلونه از حد معقولی فراتر است یا نه، حائز اهمیت است. در بدترین و نامطلوب‌ترین حالت، عدد T یعنی تعداد مراحل محاسبه (ویا نهایتأ زمان محاسبه) ممکن است مربعی باشد، یعنی T در بدترین حالات، به شکل توان دوم تعداد نقاط نمونه‌برداری است. اما فرض می‌کنیم که برای رویه‌هایی که خوب نمونه‌برداری شده‌اند، این وضعیت رخ نمی‌دهد. در مورد رویه‌های چندوجهی‌گونه، یعنی رویه‌هایی که مرکب از وجه‌هایی به شکل چندضلعی هستند، جدیدأ نتایج دقیقی به‌دست آورده‌اند: در واقع، برای این‌گونه رویه‌ها و با شرایط ضعیفی روی نمونه‌برداری‌ها، ثابت شده است که در بدترین حالت، اندازهٔ محاسبات در مثلث‌بندی متناسب با تعداد نقاط نمونه ‌برداری است. درمورد رویه‌های هموار موضوع حساس‌تر است و هم‌اکنون تحقیقات فعالی درمورد آن‌ها در حال اجراست.

نمی‌توان به کران‌هایی که از حیث نظری به‌دست می‌آیند اکتفا کرد، بلکه باید شیوهٔ مؤثر و سریع محاسبهٔ مثلث‌بندی را برای مجموعه‌ای از داده‌ّها بدانیم. الگوریتم‌های متعددی را می‌شناسیم. به کارآمدترین آن‌ها تصادفی شده می‌گویند زیرا در ضمن اجرای آن‌ها تعدادی انتخاب تصادفی صورت می‌گیرد. نظریهٔ الگوریتم‌های تصادفی شده با سرعت زیاد در سال‌های ۱۹۹۰ رشد کرده و منجر به تحلیل‌های دقیقی شده است، که در بوتهٔ تجربه هم ارزش آن‌ها به اثبات رسیده است. در موارد زیادی، از جمله مثلث‌بندی دلونه، دخیل کردن بخشی از کار به صورت اتفاقی و تصادفی، تجویز می‌کند که در جستجوی حل بهینهٔ بدترین حالت (که احتمال اندکی دارد) نباشیم و به این ترتیب الگوریتم‌های ساده و در عین حال بسیار کارآمد از نظر میانگین حاصل شده‌اند. مثلأ می‌توان با نمونه‌برداری ۱۰۰۰۰۰ نقطه در حدود ۱۰ ثانیه بازسازی رویه را انجام داد (به کمک پنتیوم ۳، با سرعت ۵۰۰ مگاهرتز).

درست است که محاسبهٔ سریع مهم است، اما محاسبهٔ قابل اعتماد از آن مهم‌تر است. این مسئله‌ای حساس است، زیرا کامپیوترها به‌طور کلی اعداد را با تقریب و دقتی محدود نمایش می‌دهند (منظور تعدادی متناهی رقم اعشاری است). به این ترتیب نمی‌توان نمایش عددی و در عین حال دقیق برای اعدادی نظیر π که بی‌نهایت رقم اعشاری دارند، ارائه داد. انباشتگی خطاهای ناشی از گرد کردن ممکن است به رفتار ناهنجار برنامه بینجامد. هرچند این رفتارها را کاملأ می‌شناسیم، مهار کردن آن‌ها بسیار مشکل است و پیاده‌سازی و نگهداری الگوریتم‌های قابل اعتماد بسیار پرهزینه است. بخش عمده‌ای از پژوهش‌ نوین در زمینهٔ هندسهٔ الگوریتمی، ناظر به این مسائل است و اینجاست که شاخه‌هایی از دانش نظیر نظریهٔ‌ الگوریتم‌ها، محاسبهٔ صوری (که کامپیوتر به‌جای اعداد صریح، نمادها را دستکاری می‌کند)، و حساب کامپیوتری در هم می‌آمیزند. بر اثر این تلاش‌ها، تاکنون چندین کتابخانهٔ نرم‌افزاری گسترش یافته‌اند که امکان برنامه‌نویسی‌های ساده، کارآمد و اطمینان‌بخش را فراهم می‌کنند، از جمله کتابخانهٔ CGAL (کتابخانهٔ الگوریتم‌های هندسهٔ محاسباتی) که با همکاری بین‌المللی دانشگاه‌ها و سازمان‌های پژوهشی به‌وجود آمده و توسعه یافته است.

مطالب این بخش از کتاب «انفجار ریاضیات» انتشارات فاطمی گرفته شده است. برای اطلاعات بیشتر در مورد این کتاب و تهیۀ آن از لینک مقابل اقدام کنید.

معمای منطقی

ماجراهای سهند و سپند

سهند و سپند یک جفت دوقلوی همسان عجیب هستند که از نظر ظاهری کاملا شبیه به هم هستند. آنها دچار یک بیماری شدند که بعد از آن همیشه در یکی از سه وضع روانشناسی قرار دارند: وضع ۱، وضع ۲ و وضع ۳ که با الگوی ثابت ۱، ۲، ۳، ۱، ۲، ۳، … تغییر می کند. این دو برادر همیشه در وضع یکسانی قرار دارند: هردو در وضع ۱، هردو در وضع ۲ یا هردو در وضع ۳.

اما یک تفاوت اساسی وجود دارد. سهند همیشه در وضع ۱ دروغ می‌گوید و در دو وضع دیگر راست می‌گوید ولی سپند در وضع ۲ دروغ می‌گوید و در دو وضع دیگر راست می‌گوید.

معمای ۱

یک روز این دو برادر را در موقع پیاده‌روی دیدم. یکی گفت: من سهند هستم. دیگری گفت: من سپند هستم. و در بین این دو جمله هیچ تغییر وضعی رخ نداد.

نفر اول سهند بود یا نفر دوم؟

توضیح در شمارهٔ بعدی خبرنامه

پاسخ معمای شمارۀ قبل

اگر شما پاسخ بله بدهید، آنگاه می‌پذیرید که پاسخ این سوال خیر است و شما نادرست پاسخ داده‌اید! اگر شما پاسخ خیر بدهید، آنگاه انکار می‌کنید که پاسخ شما خیر است و دوباره نادرست پاسخ داده‌اید!

معمای ریاضی

دو رشته نخ باروتی داریم که اگر یک سر هریک را آتش بزنیم، ید دقیقه طول می‌کشد تا تمام شود.

چگونه می‌توان با استفاده از این دو رشته نخ باروتی، ۴۵ ثانیه را اندازه گرفت؟

پاسخ معمای شمارۀ قبل

می‌دانیم محیط دایره‌ای به شعاع r برابر ۲πr و در این مسئله تقریبا برابر ۶/۲۸r در نظر میگیریم.

فرض کنید r شعاع دایره‌ای باشد که سیم تلفن به دور آن پیچیده شده است. مهندس می‌خواهد خط تلفن را به دایره‌ای به شعاع r+۲ منتقل کند. در این صورت طول سیم اضافی مورد نیاز برابر است با:

۶/۲۸(۲+r)-۶/۲۸r=۲×۶/۲۸=۱۲/۵۶

یعنی خط تلفن ۱۲/۵۶ متر بلندتر می‌شود، و هزینه‌اش می‌شود ۲۰×۱۲/۵۶ هزار تومان، یعنی ۲۵۱/۲۰ هزار تومان.

نکتۀ جالب این که این عدد به ازای هر r دلخواه همین مقدار است!

نظرسنجی

به این شماره از خبرنامه امتیاز دهید

نتیجه نظرات

3.9/5 (12)

راه‌های ارتباطی

دبیرخانه ریاضیات کانگورو و علوم رایانه ببراس در ایران
پست الکترونیکی:
 info@mathkangaroo.ir
آدرس: تهران، میدان فاطمی، خیابان جویبار، خیابان میرهادی شرقی، پلاک۱۴
کدپستی: ۱۴۱۵۸۸۴۲۴۱
تلفن: ۸۸۹۴۵۵۴۵-۰۲۱
نمابر: ۸۸۹۴۴۰۵۱-۰۲۱