و

شمارهٔ ۲ شهریورماه ۱۳۹۵

معرفی خبرنامه

به نام خدا

خبرنامهٔ پیش رو با هدف ترویج ریاضیات و علوم رایانه برای دانش‌آموزان کلیهٔ مقاطع، معلمان و سایر علاقه‌مندان در موسسهٔ فرهنگی فاطمی تهیه شده است. در این خبرنامه می‌توانید اطلاعات جالب و مفیدی دربارهٔ ریاضیات و علوم رایانه کسب کنید و از اخبار برنامه‌هایی مانند کانگورو و ببراس مطلع شوید.

عضویت در خبرنامه

اخبار

جشن پایانی هشتمین دورۀ ریاضیات کانگورو

جشن پایانی هشتمین دورۀ ریاضیات کانگورو، جمعه ۲۶ شهریورماه در دانشگاه تربیت دبیر شهید رجایی تهران برگزار خواهد شد. دبیرخانۀ ریاضیات کانگورو در ایران و مؤسسۀ فرهنگی فاطمی در این مراسم، میزبان دانش‌آموزان برگزیده و خانوادۀ آنها، مسئولان مدارس و مراکز آموزشی ممتاز و سایر همراهانی که در این دوره ما را یاری کردند خواهند بود. دعوتنامۀ این مراسم به همراه اسامی دانش آموزان منتخب، پیش‌تر برای مدارس و مراکز آموزشی ارسال شده است. لازم به توضیح است که از هر استان در هر گروه، دانش‌آموزانی انتخاب شده‌اند که بالاترین تراز کل را داشته‌اند.

ارسال گواهی شرکت و دیپلم‌افتخار

دبیرخانه ریاضیات کانگورو ضمن عذرخواهی بابت تاخیر در تایید «گواهی شرکت در مسابقه» و «دیپلم افتخار» به وسیلهٔ وزارت آموزش و پرورش، به اطلاع می‌رساند فرآیند صدور گواهی و دیپلم افتخار انجام شده و این اقلام به همراه کارنامهٔ چاپ شدهٔ هر دانش‌آموز و تقدیرنامهٔ حوزه‌های برگزارکنند، در حال ارسال به مدارس است.

پرداخت سهم مشارکت

معاونت توسعه مدیریت و پشتیبانی وزارت آموزش و پرورش در تاریخ ۹۵/۹/۶ دستور العمل پرداخت سهم مشارکت حوزه‌های برگزارکنندهٔ هشتمین دورهٔ مسابقه ریاضیات کانگورو را به معاونت‌های توسعه مدیریت و پشتیبانی ادارات کل آموزش و پرورش استان‌ها ابلاغ کرد. بر اساس پیگیری‌های دبیرخانهُ ادارات کل موظفند در اسرع وقت نسبت به پرداخت سهم مشارکت به حوزه‌ها و ادارات آموزش و پرورش مناطق، اقدام کنند. در صورت نیاز به اطلاعات بیشتر و دریافت تصویر نامهٔ ابلاغ اعتبار یاد شده، با دبیرخانهٔ ریاضیات کانگورو تماس بگیرید.

معرفی کتاب

کتاب مترو تجریش، شربت سکنجبین، حلقهٔ نامزدی و ۱۴۲ معمای دیگر شامل ۱۴۵ معما و راه حل آنهاست و دلیل اصلی تدوین آن، افزایش توانایی ذهنی شماست؛ زیرا افرادی که می توانند از چالش های فکری رها شوند، توانایی بيش‌تری در تصمیم‌گیری دارند. معماهای این کتاب به بیانی ساده مطرح شده‌اند تا برای افرادی هم که آشنایی کمی با ریاضیات دارند، جذاب و قابل حل باشند. پیشنهاد می کنم هنگام مطالعهٔ این کتاب، پس از مرور دقیق هر معما و قبل از مراجعه به راه حل آن کمی درنگ کنید و برای پیدا کردن جواب درست تلاش کنید و همیشه موارد زیر را در نظر بگیرید:

– سادگی را فراموش نکنید، گاهی مسائل ساده‌تر از آن هستند که می‌پنداریم.

– صفر عدد جالبی است، جواب بسیاری از مسائل می‌تواند صفر باشد.

– حالت‌های غیرممکن را در نظر بگیرید.

– سعی کنید با دید باز و ذهنی آزاد به حل معما بپردازید.

– سعی کنید خلاقانه و مبتکرانه معماها را حل کنید.

آموزش علوم رایانه بدون نیاز به رایانه

همان‌طور که در شماره‌های قبل خبرنامه وعده داده بودیم، از ماه آینده در هر شماره، یک فعالیت از پروژهٔ علوم رایانه بدون نیاز به رایانه را ارائه خواهیم کرد. پروژهٔ «علوم رایانه بدون نیاز به رایانه» (CSUnplugged) پروژه‌ای آموزشی با هدف ترویج علوم رایانه بین کودکان و نوجوانان است. این پروژه تلاش می‌کند علوم رایانه را به عنوان رشته‌ای جذاب، سرگرم‌کننده، خلاق و برانگیزاننده به مخاطبان معرفی کند. به همین دلیل، این پروژه شامل مجموعه‌ای از فعالیت‌های آموزشی است که از طریق بازی‌ها و معماهایی که با کارت، نخ، مداد رنگی و همچنین جنب و جوش زیاد اجرا می‌شوند، علوم رایانه را به بچه‌ها می‌آموزد. فعالیت‌های آسان و سرگرم کنندهٔ این پروژه، دانش‌آموزان تمام سنین را با مفاهیم بنیادین علوم رایانه (و البته نحوهٔ کار رایانه‌ها) آشنا می‌کنند- البته بدون استفاده از رایانه!

هدف اصلی از طراحی و توسعهٔ این پروژه این بوده است که بچه‌ها بدون آن که مجبور به یادگیری برنامه‌نویسی باشند بتوانند یک‌راست وارد دنیای علوم رایانه شوند و مسئله‌ها و چالش‌هایی که متخصصان رایانه با آن‌ها مواجهند را تجربه کنند. به عبارت دیگر کسانی که به این پروژه می‌پیوندند و آن را اجرا می‌کنند، مفاهیم اساسی و بنیادین علوم رایانه را که به هیچ سیستم و نرم‌افزاری وابسته نیست، به دانش‌آموزان منتقل می‌کنند؛ مفاهیمی که همواره تازه و قابل استفاده هستند. بسیاری از فعالیت‌های این پروژه پایهٔ ریاضی دارند برای مثال درک اعداد دودویی، نگاشت و نمودار، الگویابی و مرتب‌سازی و رمزنگاری. دیگر فعالیت‌ها ارتباط نزدیکی با مباحث فناوری و نیز دانش و فهم شیوهٔ کار رایانه دارند.

تجربهٔ موفق

دیدگاه آقای ربانی مدیر پژوهش‌سرای شهید احمد حجتی نجف‌آباد

پژوهشسرای شهید احمد حجتی نجف آباد با توجه به اهمیت و نقش ریاضی در زندگی روزمره و کاربردی شدن علم ریاضیات برای تمامی اقشار به خصوص دانش آموزان، در نظرگرفت، مسابقات ریاضی جهانی(كانگورو – استرالیا ) را با توکل به خدای متعال برگزار نماید. پس بررسی کامل اهداف این مسابقه از طریق سایت ریاضیات کانگورو و مشورت با دبیران، استادان و پیشکسوتان ریاضی شهرستان و بررسی کتب ریاضیات کانگورو تصمیم و اقدام به برگزاری مسابقات برای اولین در سال تحصیلی  ۹۴-۹۳ نمود. لذا با همکاری مسولین اداره آموزش و پرورش بخشنامه ای با عنوان برگزاری مسابقات ریاضی جهانی(كانگورو – استرالیا ) به تمامی مدارس مقطع ابتدایی و متوسطه اول ارسال گردید و خوشبختانه با استقبال خوب دانش آموزان و اولیا مواجه گردید و در اولین سال برگزاری قریب به  ۱۲۰۰ دانش آموز ثبت نام شد.

پس از ثبت نام اولیه، مدیریت پژوهشسرا اقدام به برگزاری کلاسهای آموزشی جهت آمادگی بیشتر دانش آموزان برای روز مسابقه نمود و برای دانش آموزان کتاب های همگام با مدرسه هر پایه از انتشارات فاطمی تهیه و سرکلاس با بهترین مدرسین شهر، تدریس گردید. در پایان بعد از برگزاری آزمون تعداد ۷۴ نفر از دانش آموزان موفق به کسب دیپلم افتخار بین المللی در این سال شدند.

برنامه فوق با قوت و توانمندی خود برای سه مقطع ابتدایی، متوسطه اول و متوسطه دوم در سال ۹۵-۹۴ و همچنین با برپایی کارگاه های بازی و ریاضی و خلاقیت در روز مسابقه برگزار گردید و با رضایتمندی هرچه بیشتر خانواده ها و دانش آموزان اتمام گردید به حدی که دانش آموزانی که کسالت جسمی داشتند با شور و اشتیاق فراوان در روز مسابقه شرکت نمودند و روزی شاد به یادماندنی را در محیط پژوهشسرا با دیگر دانش آموزان، اولیا و مسولین پژوهشسرا و اداره آموزش و پرورش تجربه کردند و در نهایت تعداد ۲۰۳ نفر از دانش آموزان موفق به کسب دیپلم افتخار بین المللی شدند.

کارگاه کدنویسی اسکرچ

خبرنامه ترویجی ریاضیات و علوم کامپیوتر در راستای اهداف ترویجی خود بخشی را با نام کارگاه ساخت بازی و انیمیشن راه اندازی کرده است. در این کارگاه، پروژهٔ برنامه نویسی تصویری اسکرچ را معرفی می‌کنیم و ضمن آموزش مرحله به مرحله برنامه نویسی به وسیلهٔ روش‌های مخصوص کودکان، پروژه‌های انجام شده توسط دانش آموزان به نمایش گذاشته می‌شود.

اسکرچ (Scratch) یک زبان برنامه‌نویسی تصویری است که برای کودکان طراحی شده است. دانشمندان آزمایشگاه رسانه ام‌آی‌تی زبان برنامه‌نویسی اسکرچ را طراحی نموده و در سال ۲۰۰۷ به طور رسمی و به صورت کاملاً رایگان به دنیا عرضه کردند.

این برنامه نویسان که به دنبال راه کاری بودند تا زبانی را طراحی کنند که کار کردن با آن بسیار ساده باشد با الهام گرفتن از روش بازی کودکان با لگو، قطعات خانه سازی که با استفاده از آن می‌توان سازه‌های مختلفی ایجاد کرد، سعی کردند مفاهیم اصلی برنامه‌نویسی را در قالبی کاملاً بصری و همچون ساخت یک خانه با لگو آموزش دهند.

کودکان به هیچ وجه نیازی به نوشتن حتی یک خط کد هم برای تکمیل پروژه خود ندارند بلکه کدهای این زبان برنامه‌نویسی در قالب شکل‌های مختلف در معرض دید کودک قرار می‌گیرد. حال کودک با کنار هم قرار دادن این اشکال اقدام به کد نویسی می‌کند. چنین قابلیت منحصر به فردی به‌ وسیلهٔ شکل‌های مختلف فراهم شده است به این صورت که فقط اشکال خاصی هستند که می‌توان آن‌ها را در کنار یکدیگر جفت کرد.

در شماره‌های بعدی خبرنامه، اسکرچ را بیشتر معرفی کرده و آموزش کار با اسکرچ را آغاز می‌کنیم.

من مُردم!

فرهنگستان پاریس برای حل مشکل ساختمان دکل کشتی، مسابقه‌ای برگزار کرد. مقالهٔ لئونارد، پسر ۱۹سالهٔ سوییسی جزء برندگان بود. پسر یک کشیش سوییسی که با خودخواهی، دوست داشت فرزندش حتی علی رغم میل باطنی، راه پدر را ادامه دهد و جانشینش شود.

لئونارد در یک دبیرستان خیلی معمولی تحصیل می‌کرد که اصلا ریاضیات در آن تدریس نمی‌شد. بنابراین ریاضی را کمی از پدر و کمی از یک معلم خصوصی فراگرفت. این پسر ۱۹ساله با همین سن کم مدرک کارشناسی ادبیات و کارشناسی ارشد فلسفه از دانشگاه بازل سوییس را گرفته بود.

حالا با حل مشکل دکل کشتی، لئونارد معروف شده بود. جوان ادبیات خوانده‌ای که یک مشکل فنی را حل کرده بود. بعد از آن، شغلی به او پیشنهاد شد که مطابق با رشتهٔ تحصیلی‌اش بود. این پیشنهاد را قبول کرد و برای کار در فرهنگستان سن پترزبورگ به روسیه سفر کرد. اما در فرهنگستان در بخش ریاضیات مشغول به کار شد و در کمال تعجب بعد از ادبیات و فلسه، استاد فیزیک شد. او ۱۴ سال در این شغل مشغول بود و در این مدت بیش از ۸۰ اثر در زمینهٔ ریاضیات و فیزیک آمادهٔ انتشار کرد.

لئونارد بعد از روسیه به دعوت پادشاه به آلمان رفت و ۲۵ سال در آنجا زندگی کرد و رییس آکادمی علوم برلین بود و در تمام طول این مدت همچنان عضو فعال فرهنگستان‌های سن پترزبورگ، برلین و پاریس بود و با پژوهش‌های بسیار خود، دانش فیزیک ریاضی را پی‌ریزی کرد و همچنین نظریه‌هایی در زمینهٔ حرکت ماه و سیارات داشت. همچنین در این مدت بینایی یک چشم خود را به خاطر کار بی وقفه روی مسئله‌ای که توسط آکادمی علوم مطرح شده بود، از دست داد و البته بعد از 3 روز کار مداوم، مسئله را حل کرد. گفتنی او در 60 سالگی نیز چشم دیگر خود را از دست داد و نابینا شد.

لئونارد انسان بسیار پرکاری بود و برای نمونه می توان به انتشار ۲۷۵ اثر در زمان اقامت در برلین و داشتان ۱۳ فرزند اشاره کرد! البته فقط ۵ نفر از آنها زنده ماندند. کشفیات او به قدری زیاد است که حتی هنوز هم آثار او به طور کامل منتشر نشده است.

از ویژگی‌های دیگر لئونارد این بود که مسائل سخت را در نهایت سادگی حل می‌کرد. دوستناش به او لقب روح آنالیز ریاضی داده بودند.

لئونارد اویلر، نابغهٔ ریاضی و فیزیک در ۷۶ سالگی گفت “من مُردم” و واقعا مُرد!

ریاضیات به چه درد می‌خورد؟

دیرزمانی است که پشت صحنه گزارش پیش بینی وضع هوای روزهای بعد، که مجری جذابی هرشب در تلویزیون آن را برایمان تشریح می‌کند، ابررایانه‌هایی وجود دارند که داده‌های بی‌شمار به دست آمده از ماهواره‌ها را با قوانینی از مکانیک، فیزیک و ریاضیات (گاهی ریاضیات بسیار مدرن) پردازش می‌کنند. برای آنکه رایانه‌ها بتوانند پیش‌بینی‌هایی فراهم کنند، باید چیزی را تدارک ببینند که به آن مدل عددی پیش‌بینی وضع هوا می‌گویند. یک چنین مدل پیش‌بینی ، ۸ تا ۱۰ روز اعتبار دارد و اوضاع جوی زمین را با مقادیر پارامترهای هواشناختی (سرعت باد، دما، رطوبت، فشار، ابرها و غیره) در مرکز جعبه‌هایی که حدود ۵۰ کیلومتر طول و عرض و چند ده تا چند صد متر ارتفاع دارند، بررسی می‌کنند. تقسیم فرضی جو زمین به چنین جعبه‌هایی اجتناب‌ناپذیر است، زیرا مشخص کردن معیارهای هواشناختی در همه نقاط جو زمین ممکن نیست (زیرا تعداد این نقاط بی‌نهایت است!). به طور نظری هرقدر این جعبه‌ها کوچکتر باشند (و درنتیجه تعدادشان بیشتر باشد)، توصیف وضعیت جو، مشخص‌تر و به همین نسبت پیش‌بینی وضع هوا هم دقیق‌تر خواهد بود. اما، در عمل طول و عرض جعبه‌ها را نمی‌توان کوچک‌تر از ۵۰ کیلومتر در نظر گرفت، وگرنه، توان بزرگ‌ترین رایانه‌ها هم برای پردازش داده‌ها کفایت نخواهد کرد. درواقع، لازم است که محاسبات در مدت زمان معینی، یعنی دقیقا کمتر از ۲۴ساعت، کامل شود.

با فرض این که در آغاز دوره پیش‌بینی، حالت جو معلوم باشد، مدل مورد بحث، محاسبه تحول حالت جو با استفاده از قوانین دینامیک و فیزیک را به رایانه می‌سپارد. تحول برحسب زمان، گام به گام و به فاصله‌های زمانی چند دقیقه محاسبه می‌شود. پیش‌بینی عددی وضع هوا بر قواعدی استوار است که از اوایل قرن بیستم شناخته شده بودند اما به کارگیری عملی آنها تا سال‌های ۱۹۴۰ تا ۱۹۵۰و ظهور نخستین رایانه‌ها به تاخیر افتاد.

از اندازه‌های هواشناختی نمی‌توان مستقیما بهره‌برداری کرد

برای پیش‌بینی مطابق طرح مطلوب فوق، نخستین مسئله، شناختن «وضعیت آغازین جو زمین» است. مشاهدات معمول برای این کار مناسب نیستند. ایستگاه‌های هواشناسی زمینی بسیار نامنظم در سطح کره زمین توزیع شده‌اند و به علاوه، اندازه‌های اندکی از نقاط مرتفع جو فراهم می‌آورند. ماهواره‌ها هم غالبا به طور پیوسته دور زمین حرکت می‌کنند؛ بنابراین اندازه‌های به دست آمده در نقاط مختلف در زمان‌های مختلف به دست می‌آیند. از سوی دیگر، ماهواره‌ها کمیت‌هایی را اندازه‌گیری می‌کنند که مربوط به تمام ضخامت قشر جوی است (و آن هم عموما شار انرژی دریافتی برای طیف معینی از طول موج‌ها است) و درواقع اندازه کمیت‌های هواشناختی (باد، دما، رطوبت و غیره) را که در معادلات مدل دخالت دارند، به دست نمی‌دهند. پس آنچه در اختیار داریم، انبوهی از داده‌های نامتجانس مربوط به ۲۴ساعت است که بی‌قاعده روی سطح کره زمین توزیع شده‌اند. حال باید با این داده‌ها به تدوین اولین پیش‌بینی، یعنی ساختن یک وضعیت هواشناسی آغازین بپردازیم که مدل مورد بحث بتواند تحول آن را شبیه‌سازی کند. و اما، بر اثر تحقیقاتی که در رشته بهینه‌سازی پویا صورت گرفته است و دانشمند روسی لِف پونتریاگین (۱۹۰۸-۱۹۸۸) و مکتب ریاضی فرانسه سهم بسزایی در آن داشته‌اند، خوشبختانه در سال‌های ۱۹۸۰ روش‌هایی به نام «شبیه‌سازی تغییراتی» فراهم شد و بدین ترتیب موفق شدند وضعیت آغازین جو را به شکلی بهینه، بازسازی کنند. ایده زیربنایی این روش‌ها، که از سال ۲۰۰۰ در موسسه هواشناسی فرانسه (متئو فرانس) به کار گرفته شدند، این بود که به گونه‌ای مسیر مدل عددی را مجبور کنند از نزدیک داده‌های مشاهده شده در ۲۴ساعت گذشته عبور کند. البته، شبیه‌سازی تغییراتی، یگانه تکنیک جدید ریاضی نیست که پردازش مشاهدات را زیر و رو کرده است: استفاده از شبکه‌های عصبی مانند یا کاربرد موجک‌ها دستاوردهای مهمی در زمینه کارایی، دقت و سرعت پردازش داده‌های به دست آمده از ماهواره‌ها داشته است.

مطالب این بخش از کتاب «انفجار ریاضیات» انتشارات فاطمی گرفته شده است. برای اطلاعات بیشتر در مورد این کتاب و تهیهٔ آن از لینک مقابل اقدام کنید.

وقتی آنالیز عددی وارد عمل می‌شود…

به محض شناسایی حالت آغازین جو، که مورد نیاز مدل عددی پیش‌بینی است، باید برنامه‌ای رایانه‌ای نوشت که بتواند وضع هوای آینده را بر مبنای حالت آغازین و قوانین فیزیک محاسبه کند. قوانین فیزیکی بر توصیفی پیوسته از فضا و زمان مبتنی هستند؛ اما مدل عددی ما فقط تعدادی متناهی، هرچند بزرگ، از جعبه‌ها را می‌شناسد؛ همچنین فاصله زمانی بین دو حالت محاسبه شده به چند دقیقه می‌رسد. می‌گویند مسئله را گسسته‌سازی کرده‌ایم. رسیدن از معادلات پیوسته به الگوهای عددی برای مدل گسسته‌سازی شده، و در عین حال حفظ بیشترین دقت ممکن، حوزه مورد بحث آنالیز عددی است. این شاخهٔ ریاضیات پس از پیدایش رایانه‌ها توسعه انفجارگونه‌ای داشته است. هدف آنالیز عددی این است که معادلات را حل کند و محاسبات را به پایان برساند، یعنی مقادیر عددی را معین کند و در عین حال زمان و تلاش‌های به کار گرفته را تا حد امکان کم کند. ضرورت آنالیز عددی، هم از آن جهت است که شبیه‌سازی مترادف شبهه‌سازی تعبیر نشود و هم از آن رو که به ارزیابی خطاها و تردیدهای موارد پیش‌بینی بپردازد. به عنوان مثال، اخیرا در زمینه جابجایی گونه‌ها یا ذرات شیمیایی در توربولانس جوی، و به ویژه در مورد روش‌های شبیه‌سازی آنها، پیشرفت‌های مهمی به دست آمده است. این پیشرفت‌ها، مطالعه و پیش‌بینی آلودگی هوا را به شکل قابل ملاحظه‌ای بهبود بخشیده‌اند.

آیا می‌توان وضع هوا را برای مدت مدیدی پیش‌بینی کرد؟

نظریه سیستم‌های دینامیکی به این پرسش پاسخ منفی می‌دهد تا کنون راجع به پیش‌بینی وضع هوا برای مدت کوتاه ۸ تا ۱۰ روز مطالبی را مطرح کرده‌ایم. اما به چه علت پیش‌بینی‌هایی برای مدت طولانی‌تر انجام نمی‌شود؟ هواشناس آمریکایی ادوارد لورنز در مقاله مشهوری در سال ۱۹۶۳ نشان داد که احتمالا امیدی به این کار نیست. جو زمین سیستمی آشوبناک است، یعنی هرگونه اشتباه در حالت آغازین؛ ولو بسیار کوچک، در طول زمان با چنان سرعتی بزرگ می‌شود که پیش‌بینی پس از ۱۰ روز دقت خود را به کلی از دست می‌دهد. با این وصف، منظور این نیست که نمی‌توان پیش‌بینی کرد. یعنی پیش‌بینی باید بیشتر به صورت آماری باشد تا قطعی، و بیشتر ناظر به ارائه متوسط بارش‌ها و دماها باشد، نه این که بگوید هوای ناحیه بروتانی در فلان روز از ماه ژوئیه دقیقا چه خواهد بود.

معمای منطقی

شهر ویژه‌ای را در نظر بگیری که در آن هر روز هر شهروند در تمام روز یا دروغ می‌گوید یا راست. یک شهروند ممکن است بعضی روزها دروغ بگوید و بعضی روزها راست ولی در طول هر روز، رفتار هر شهروند ثابت است. مثلا کامران را در نظر بگیرید: او فقط روزهای دوشنبه دروغ می‌گوید و بقیهٔ شش روز هفته راست می‌گوید. یک روز کامران گفت: امروز دوشنبه است و من متاهل هستم.

آیا آن روز واقعا دوشنبه بود؟ آیا او واقعا متاهل بود؟

توضیح در شمارهٔ بعدی خبرنامه

پاسخ معمای شمارهٔ قبل

این دو برادر باید الاغ های خود را تعویض کنند و تلاش کنند که زودتر به آسیاب برسند زیرا اگر زودتر برسند الاغ خودشان دیرتر می‌رسد و برنده می‌شوند.

معمای ریاضی

زنی به شوهرش که ریاضی‌دان مشهوری است، می‌گوید: این تکه کاغذ را زیر میزت پیدا کردم. هنوز هم لازمش داری؟jam

پروفسور در جواب می گوید: بله حتما، لطفا آن را به من بده.

آیا ابن واقعا یک عمل جمع است؟

بله، دقیقا.

پس بهتر است بار دیگر آن را انجام دهی، چون اشتباه کرده‌ای.

نه اصلا لازم نیست، این جمع صحیح است…

چرا پروفسور فکر می‌کند جمع را درست انجام داده است؟

پاسخ معمای شمارهٔ قبل

javab

نظرسنجی

به این شماره از خبرنامه امتیاز دهید

نتیجه نظرات

هنوز نظری ثبت نشده است.

راه‌های ارتباطی

دبیرخانه ریاضیات کانگورو و علوم رایانه ببراس در ایران
پست الکترونیکی:
 info@mathkangaroo.ir
آدرس: تهران، میدان فاطمی، خیابان جویبار، خیابان میرهادی شرقی، پلاک۱۴
کدپستی: ۱۴۱۵۸۸۴۲۴۱
تلفن: ۸۸۹۴۵۵۴۵-۰۲۱
نمابر: ۸۸۹۴۴۰۵۱-۰۲۱